☆ Méthode de Monte-Carlo

Énoncé

Dans un repère orthonormé \((\text{O} ; \text{I}; \text{J})\) on considère les points \(\text K(1;1)\) et \(\text M(x;y)\).
Dans le carré \(\text{OIKJ}\), on considère le quart de disque \(D\) de rayon \(1\) et de centre \(\text O\). 

On admet l'équivalence suivante : \(\text M \in D \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} 0 \leqslant x \leqslant 1\\0 \leqslant y \leqslant 1\\x^2 + y^2 \leqslant 1\\ \end{array}\right.\).

1. Calculer l'aire du quart de disque \(D\).

2. Soit \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). On tire au hasard \(n\) points dans le carré \(\text{OIKJ}\). Lorsque \(n\) est grand, sauf exception, de quelle valeur la fréquence observée des points appartenant à \(D\) est-elle proche ?

3. On considère le script inachevé ci-dessous.

    a. Compléter les lignes 6 et 7.
    b. Expliquer la condition \(\texttt{x**2 + y**2 <= 1}\) de la ligne 8.
    c. Compléter la ligne 11 de telle sorte que la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) renvoie une estimation de la valeur de \(\pi\).

4. a. Exécuter la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) pour \(n= 10\), \(n = 100\) et \(n = 1000\).
    b. On a \(\pi \simeq 3.141592653589793\). Que constate-t-on lorsque la taille de l'échantillon augmente ?
    c. Quel modèle probabiliste cet exercice illustre-t-il ?

Solution

1. La formule permettant de calculer l'aire d'un disque de rayon \(r\) est \(\mathscr{A}(\text{disque}) = \pi \times r^2\). Ici, on considère un quart de disque de rayon 1. Donc on a \(\boxed{\mathscr{A}\left(D\right) = \dfrac{\pi}{4}}\).

2. Soit \(n \in \mathbb{N}^{\star}\). En tirant au hasard \(n\) points dans le carré \(\text{OIKJ}\), d'après la loi des grands nombres, lorsque \(n\) est grand, la valeur de la fréquence observée des points appartenant à \(D\) est proche de \(\dfrac{\pi}{4}\).

3. a. D'après l'énoncé, on sait que \(0 \leqslant x \leqslant 1\) et \(0 \leqslant y \leqslant 1\). Donc on complète la L6 : \(\texttt{x = random.random()}\) et la L7 : \(\texttt{y = random.random()}\).
    b. On a \(x^2 + y^2 = 1\) l'équation d'un cercle de rayon \(1\) centré en \(\text{O}\). Si de plus, on a  \(0 \leqslant x \leqslant 1\) et \(0 \leqslant y \leqslant 1\) l'équation \(x^2 + y^2 = 1\) est celle de l'arc de cercle \(\overset{\frown}{\text{IJ}}\). Donc d'après l'équivalence admise, la condition \(\texttt{x**2 + y**2 <= 1}\) signifie que \(\text M \left(x ; y \right) \in D\).
    c. D'après la question 2.,  la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) renverra une estimation de la valeur de \(\pi\), si elle renvoie 4 fois la valeur de la fréquence \(\texttt{f}\). Donc la ligne 11 est \(\boxed{\texttt{return f * 4}}\).

4. a. Finalement, la fonction python \(\texttt{estimation_pi(n)}\) complétée est la suivante.

• Pour \(n = 10\), en exécutant \(\texttt{print(estimation_pi(10))}\) on obtient \(\texttt{2.8}\).
• Pour \(n = 100\), en exécutant \(\texttt{print(estimation_pi(100))}\) on obtient \(\texttt{2.88}\).
• Pour \(n = 1000\), en exécutant \(\texttt{print(estimation_pi(1000))}\) on obtient \(\texttt{3.08}\).
  

    b. Lorsque la taille de l'échantillon augmente, la valeur renvoyée par la fonction \(\texttt{estimation_pi(n)}\) se rapproche de celle de \(\pi\).
    c. Cet exercice illustre la loi des grands nombres (dans une version vulgarisée).